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正弦定理：外接圆推导 a = 2R sin A
几何 · 外接圆、弦心距与直角三角形 OMB：直观看出 sin A = (a/2)/R。亦可切换验证余弦定理。免费在线互动课件，浏览器内拖参、实时可视化。
概述
正弦定理的几何核心是外接圆：圆心角是圆周角的两倍，弦心距把对边对半，于是 a = 2R sin A。
说明
外接圆圆心 O，半径 R；M 为边 a（BC）中点，则 OM ⊥ BC 且 BM = a/2。
圆心角 ∠BOC = 2∠A，故直角三角形 OMB 中 sin A = (a/2)/R，即 a = 2R sin A。
于是 a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R。
余弦定理：c² = a² + b² − 2ab cos C（其余边角类推）。
操作提示
- 打开正余弦定理课件，默认正弦模式。
- 观察外接圆、圆心 O、中点 M 与绿色直角三角形 OMB。
- 拖动顶点 A/B/C，对照侧栏 (a/2)/R 与 sin A。
- 需要时切换到余弦模式，看公式残差是否接近 0。
选用提示
已知两边夹角用余弦定理；已知两角一边用正弦定理。
知识点
常见问题
直角三角形还要用吗？
直角时余弦定理退化为勾股定理，可对照勾股课件。
这个工具免费吗？
免费。浏览器打开即可，无需安装。
适合课堂演示吗？
适合。可投影调参，让学生观察「参数一变会怎样」。
学完互动后怎么写公式？
打开公式编辑器或符号速查，把一般式写进作业与讲义。